SLOW NOTES · CLEAR STRUCTURE
Learning, building, and documenting.
시리즈 「1/π를 향한 2000년」: 1편 원과 무한 / 2편 AGM과 타원적분 / 3편 모듈러의 세계 / 4편 1103의 탄생 / *5편 검증과 그 이후***지난 편 요약. 르장드르 관계식에 특이 모듈러스 $k_N$ 과 특이값 함수 $\alpha(N)$ 을 넣으면, 계수가 모두 대수적 수인 1/π 급수가 나온다. $N$이 클수록 급수가 빠르지만 계수가 복잡해지므로, 유수 2인 판별식 중 가장 큰 $N = 58$ 이 최선이었고, 이때 베버 불변량 $g_{58}^{12} = 9801 + 1820\sqrt{29}$ 에서 $9801 = 99^2$ 과 $z_{58} = 1/99^4$ 이 나오고, $396^4 = e^{\pi\sqrt{58}} + 104 + 4372\thinspace e^{-\pi\sqrt{58}..
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시리즈 「1/π를 향한 2000년」: 1편 원과 무한 / 2편 AGM과 타원적분 / 3편 모듈러의 세계 / 4편 1103의 탄생 / 5편 검증과 그 이후지난 편 요약. $K'(k)/K(k) = \sqrt N$ 이 되는 특이 모듈러스 $k_N$ 은 대수적 수이고, 그 점에서 특이값 함수 $\alpha(N)$ 도 대수적 수다. 클라우젠 항등식은 $K^2$ 를 하나의 급수 $(2K/\pi)^2 = \sum \frac{(1/2)_ n^3}{(n!)^3}(2kk')^{2n}$ 로 바꿔 준다. 라마누잔의 "시그니처 4" 이론에서는 계수가 $(\frac14)_ n(\frac12)_ n(\frac34)_ n/(n!)^3$ 이 되는데, 이것이 곧 $(4n)!/(n!)^4$ 를 $256^n$ 으로 나눈 것이다.이번 편에서..
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시리즈 「1/π를 향한 2000년」: 1편 원과 무한 / 2편 AGM과 타원적분 / 3편 모듈러의 세계 / 4편 1103의 탄생 / 5편 검증과 그 이후지난 편 요약. 가우스의 AGM은 한 단계마다 자릿수를 두 배로 늘리며, 완전타원적분 $K(k) = \pi/(2M(1,k'))$ 를 계산한다. 이항전개하면 $K = \frac{\pi}{2}\sum \frac{(1/2)_ n^2}{(n!)^2}k^{2n}$ 으로, π가 급수 앞에 계수로 붙어 나온다. 르장드르 관계식 $EK' + E'K - KK' = \pi/2$ 는 $k$와 $k'$ 에서의 타원적분으로 π를 정확히 표현한다. 남은 질문은 $K', E'$ 를 $K, E$로 대수적으로 표현할 수 있는 특별한 $k$가 있는가였다.이번 편에서 그 답을 찾는다. 재..
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로또 추첨, 게임의 아이템 드롭, 암호 키 생성. 우리는 매일 무작위를 믿으며 살아가고 있다. 그런데 한 번 이렇게 생각해보자.어떤 것에도 영향을 받지 않는, 완벽하게 공정한 난수 발생기를 만들 수 있을까?결론부터 말하면 불가능하다. 하지만 그 이유를 따라가다 보면 공정하다는 말의 진짜 의미와, 그럼에도 우리가 믿을 수 있는 난수를 얻는 방법이 보인다. 이 글의 그래프는 모두 직접 코드를 짜서 실행한 실험 결과이다.1. 아무것에도 영향받지 않는 알고리즘은 아무것도 하지 않는다먼저 영향을 받지 않는다는 조건부터 끝까지 밀어붙여 보자.알고리즘이 입력에조차 영향을 받지 않는다면, 무엇을 넣든 항상 같은 값을 내놓는다. 그건 그냥 return 42 같은 상수 함수이며 쓸모가 없다.게다가 알고리즘은 공중에 떠서 ..
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시리즈 「1/π를 향한 2000년」: 1편 원과 무한 / 2편 AGM과 타원적분 / 3편 모듈러의 세계 / 4편 1103의 탄생 / 5편 검증과 그 이후지난 편 요약. 아르키메데스는 조화평균과 기하평균을 번갈아 취하는 다각형 이중화로 π를 가두었고 비에트, 월리스, 마친의 무한곱과 급수, 오일러의 바젤 문제를 거치며 π는 해석학의 상수가 되었다. 하지만 이 방법들은 모두 선형 수렴이라 한 단계에 얻는 자릿수가 고정되어 있었다. 1편에서 만든 도구 중 이번 편에 다시 쓰이는 것은 월리스 적분 $\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\theta\thinspace d\theta$ 와 포흐하머 기호 $(\tfrac12)_ n$ 이다.가우스(1799): 산술기하평균과 타원적분라마누잔 공식의 직접적인 뿌리는 1..
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1/π를 향한 2000년 (1) — 원과 무한: 아르키메데스에서 오일러까지시리즈 「1/π를 향한 2000년」: 1편 원과 무한 / 2편 AGM과 타원적분 / 3편 모듈러의 세계 / 4편 1103의 탄생 / 5편 검증과 그 이후들어가며: 한 항에 여덟 자리1914년, 스리니바사 라마누잔은 다음 공식을 논문 "Modular equations and approximations to π"(Quarterly Journal of Mathematics 45권)에 실었다.$$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!}{(k!)^4}\cdot\frac{26390k+1103}{396^{4k}}$$이 급수는 항을 하나 더할 때마다 π의 정확한 ..
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우리에게 팩토리얼은 익숙하다. \(4!\)처럼 자연수를 차례로 곱하면 끝이다. 하지만 입력값을 0.5로 바꾸면 얘기가 조금 이상해진다. \(0.5!\)는 대체 뭘 곱해야 할까?처음에는 팩토리얼이 정수 범위에서만 한정되게 쓰이는 것 아닌가 싶은 느낌이 든다. 그런데 질문을 살짝 바꿔보면 실수 범위의 팩토리얼이 눈에 들어오기 시작한다.핵심은 “정수가 아닌 수를 어떻게 곱할까?”가 아니다. 대신 “팩토리얼이 가지고 있던 규칙을 정수 밖에서도 유지할 수 있을까?”라고 물어보는 것이다.결론부터 적으면 다음과 같다.\[\boxed{\displaystyle \Gamma\!\left(\frac12\right)=\sqrt{\pi}}\]01 / 출발점팩토리얼을 곱셈이 아니라 규칙으로 보기팩토리얼의 정의 자체는 단순하다.\..
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카드게임에서 시작해 핵물리학, 금융, 그래픽, AI까지 이어진 무작위 계산 방법오늘 정리한 내용처음 몬테카를로(Monte Carlo)라는 이름을 봤을 때는 알고리즘보다 카지노가 먼저 떠올랐다.룰렛, 카드, 주사위 같은 것들이 있는 모나코의 몬테카를로.그런데 찾아보니 이 이름은 실제로 카지노와 관련이 있었고, 더 재미있는 건 현대적인 몬테카를로 방법의 출발점 중 하나도 거창한 수식에서 시작된 것이 아니라 병에서 회복하며 하던 카드게임에서 나온 아이디어였다는 것이다.처음에는 무작위성을 이용하는 계산이라고 해서 정확한 답과는 조금 거리가 있는 방법이라고 생각했다.보통 계산에서는 우연을 줄여야 정확해진다고 생각하기 때문이다.그런데 몬테카를로 방법은 방향이 조금 다르다.무작위성을 없애는 대신, 무작위 표본을 아주..
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